Перпендикулярность прямых и плоскостей
Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум не параллельным прямым этой плоскости.
Теорема о единственности перпендикуляра к плоскости
Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
Определение. Проекцией точки М на плоскость a называется точка пересечения с плоскостью a прямой, проходящей через М и перпендикулярная a.
Определение. Проекцией фигуры Ф на плоскость a называется фигура ФI этой плоскости, образованная проекциями всех точек фигуры Ф.
Минимальное свойство перпендикуляра. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка прямой между этой точкой и ее проекцией на плоскость.
Теорема о двух перпендикулярах к плоскости
Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
Основное свойство проекций
Пусть точка М лежит на отрезке KL. K’ ,M‘ и L’ проекции точек K,M, и L соответственно на некоторую плоскость a. Тогда точка М лежит на отрезке K’L’, причем
Рассмотрим решение нескольких задач.
А теперь решите сами:
1. Из точки В, данной на расстоянии 12 см от плоскости проведена к ней наклонная ВМ, равная 13 см. Найти ее проекцию МС на данную плоскость.
2. Концы данного отрезка длиной 25 см отстоят от плоскости на 10 см и 3 см. Найти длину проекции.
3. Дана плоскость. Из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной в 26 см и 25 см. Проекция первой из них на плоскость равна 10 см. Найти проекцию второй наклонной.
Задачи из видео урока
1. Из точки В, данной на расстоянии 6 см от плоскости проведена к ней наклонная ВМ, равная 10 см. Найти ее проекцию МС на данную плоскость.
2. Из точки В к плоскости a проведена наклонная ВМ. равная 25 см. Ее проекция МС на данную плоскость равна 7 см. Найти расстояние от точки В до плоскости a.
3. Концы данного отрезка длиной 13 см отстоят от плоскости на 9 см и 4 см. Найти длину проекции.
4. Концы отрезка отстоят от плоскости на 9 см и 3 см. Его проекция на плоскость равна 8 см. Найти длину данного отрезка.
5. Точка М лежит на отрезке KL. Проекциями точек K,M, и L на плоскость являются точки KI,MI и LI. KM=6 см, ML=8 см, KIMI=3 см. Найти MILI.
6. Дана плоскость. Из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной в 13 см и 15 см. Проекция первой из них на плоскость равна 5 см. Найти проекцию второй наклонной.
